TITULOS

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TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

TRIÁNGULO ESFÉRICO RECTÁNGULO

TRIÁNGULO POLAR

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

FÓRMULA DEL COSENO

FÓRMULA DEL SENO

FÓRMULA DE LA COTANGENTE

 

 

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TRIÁNGULOS ESFÉRICOS.

 

Triángulo esférico

 

 

Un triángulo esférico es una porción de superficie esférica limitada por tres circunferencias máximas. Ahora bien, tres rectas sobre una superficie esférica determinan 8 triángulos esféricos. Será preciso determinar de qué triángulo estamos hablando.

 

Si unimos el centro de la esfera con los vértices del triángulo, obtenemos un triedro que se corresponde unívocamente con el triángulo esférico. Además esta correspondencia conserva los ángulos de la manera que se detalla en la figura adjunta. Por lo tanto, estudiar ángulos de triángulos esféricos, equivale a estudiar los ángulos del triedro correspondiente.

 

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Triángulo esférico rectángulo

Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = \alpha\!+\beta\!+\gamma\! − 180°.

Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.

TRIÁNGULO POLAR:

Se llama triángulo polar relativo al triángulo esférico de vértices A,B y C, y lados a, b y c, al triángulo de vértices A', B' y C', y lados a', b' y c', definido por:

 

A’ = 180 – a/k, B’ = 180 – b/k, C’ = 180 – c/k

a’/k = 180 – A, b’/k = 180 – B, c’/k = 180 – C

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Fórmulas fundamentales

\alpha\!:ángulo formado entre los arcos AC y AB

\beta\!:ángulo formado entre los arcos AB y BC

\gamma\!:ángulo formado entre los arcos AC y BC

Fórmula del coseno

\cos CB= \cos AC \cos AB + \sin AC \sin AB \cos \alpha \!

El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.

Fórmula del seno

 

 

\frac{\sin CB}{\sin\alpha}=\frac{\sin AC}{\sin\beta}=\frac{\sin AB}{\sin\gamma}.

Los senos de los lados, son proporcionales a los senos de los angulos opuestos.

Fórmula de la cotangente

La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:

ángulo \alpha\!; lado AB; ángulo \beta\!; lado BC.

\cos AB \cos \beta =\sin AB \cot CB - \sin \beta \cot \alpha\!

Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del lado medio por la cotangente del otro lado, menos seno del angulo medio por la cotangente del otro ángulo.

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